摘 要：本文在相对论理论框架下，分别在点电荷和两参数Fermi 核模型近似下计算了高离
化态类氢离子(Z=80～112) n=1～3 壳层的波函数和能级。分析了核有限体积效应对它们的
影响。在此基础上，给出了核有限体积效应对原子能级的修正公式。同时，还进一步讨论了
相对论效应和核有限体积效应之间的相互影响，发现对高Z 元素相对论效应与核有限体积效
应之间有很强的耦合。
关键词：原子核有限体积效应；高离化态离子；相对论效应
中图分类号：O562.1
0. 引 言
电子在原子核形成的势场中的运动规律是原子结构研究的主要问题之一。早期的理论研
究中，为了使问题简化，通常把原子核当作点电荷处理。实际上，原子核并不是点电荷，而
是由质子和中子组成的有一定尺寸的复杂量子体系[1]。在这种情况下，原子核产生的库仑势
与点电荷模型下的库仑势是不同的，从而导致核外电子的运动规律有所差别[2]，这被称为原
子核的有限体积效应。
原子核结构的研究也是核物理中的一个重要问题。使用不同的原子核结构模型计算的原
子核的电荷分布将会有所差异。这直接会影响到原子中的电子感受到的势场，因此在不同的
核电荷分布下计算出的原子的能级结构会有一些差别，尤其是涉及到内壳层电子时差别更加
明显。这使得通过精确的原子结构的测量与理论计算结果比较成为一种检验核理论的有效方
法[3,4]。此外，由于各种元素的同位素的核电荷分布也是有差别的，这种方法还可以用来辨
认元素的不同同位素[5]。由于原子中电子的波函数受到原子核有限体积的影响，这还会间接
的影响到电子与原子核的一些相互作用，如量子电动力学(QED)效应[6, 7]、超精细相互作用[8,
9]、弱相互作用[10, 11]等。因此，对原子核有限体积效应的详细研究对于更精确地检验这些理
论也是必不可少的。
高离化态类氢离子是研究核有限体积效应的理想对象。因为类氢离子中只有一个电子，
一般复杂原子结构计算中最主要的误差来源——电子关联效应并不存在，这样就可以更准确
的反映出原子核有限体积的影响。本文在相对论理论框架下，计算了高离化态类氢离子
(Z=80~112)n=1~3 壳层的电子波函数和轨道能，分析了核有限体积效应对它们的影响，并进
一步提出了核有限体积效应对原子结构影响的一些规律。为了能将核有限体积效应推广到一
些不能从头计算的原子核，我们还给出了核有限体效应对类氢离子能级的修正公式。此外，
我们还讨论了核有限体积效应与相对论效应之间的相互影响。
1. 理论方法
1本课题得到国家自然科学基金(批准号: 10434100, 10774122), 高等学校博士学科点专项科研基金(批准号:
20070736001), 中爱科技部国际合作项目(批准号：CI-2004-07), 兰州重离子加速器国家实验室原子核理论
中心基金及西北师范大学科技创新工程项目(批准号: NWNU-KJCXGC-03-21) 的资助.
- 2 -
在相对论理论框架下，类氢离子的哈密顿量可以表示为（这里及以后均采用原子单位）
H = cα ⋅ p + βc2 +V (r) ， （1）
其中， α 和β 是Dirac 矩阵， p 是电子的动量算符， c 为光速，V (r) 是电子感受到的原子
核产生的库仑势，它的具体形式依赖于原子核的核电荷分布。本文中，我们采用常用的两种
核电荷分布模型——点电荷和两参数Fermi 核模型计算原子核的库仑势。
在点电荷模型下，核电荷密度分布为[12]：
ρ (r) =Zδ (r) （2）
其中Z 为原子核的核电荷数。相应的库仑势V (r) 为
r
V(r) = Z ， （3）
原子核的两参数Fermi 核电荷分布模型[12]可以表示为
a
r c
e
r −
+
=
1
( ) 0 ρ
ρ ， （4）
上式中0 ρ 为常数，c 被称为半密度半径，当r=c 时，
2
( ) 0 ρ
ρ c = ；a 是表示核边界弥散程度
的参量，目前实验发现，不同原子核边界的弥散程度基本一致，一般为0.5234fm。参数c
和a 与Fermi 核半径Rnucl 存在如下关系[12]
2 3 2 7 2 2
nucl 5 5 R ≈ c+ πa， （5）
而原子核半径Rnucl 可由以下拟合公式确定[12]：
2 1/2 0.836 1/3 0.570 nucl <R > = A + A ≥ 6 ， （6）
上式中A 为核子数。
如果假设原子核的核电荷ρ(r)分布是球对称的，在两参数Fermi 核电荷分布模型下，
原子核产生的库仑势可以通过下式计算[12, 13]
2
0
( ) 4 ( ) ( ) r
r
rV r π ρ s s ds r ρ s sds ∞ − = ∫ + ∫ ， （7）
本文计算是基于全相对论原子结构计算的程序包GRASP92[14]进行的。
2. 结果和讨论
2.1 核有限体积效应对电子波函数的影响
为了比较原子核的有限体积效应对处于不同状态下的电子的影响，我们首先计算了
Fermi 核模型和点电荷核模型下类氢元素Uub(Z=112)的1s，2s，2p1/2,3/2 壳层的波函数及核势
能函数，如图1 所示。图中竖线表示原子核边界。
- 3 -
从势能曲线可看出在点电荷模型下电子感受到的原子核的库仑势在近核处急剧减小，而
Fermi 核模型下核势能在近核处近似为一常数，由于两种模型下原子核势能分布的这种差异
性，导致在近核区电子的波函数存在较大的差别。同时从图中电子波函数分布的情况可以看
出，1s 壳层电子在近核区的几率相对最大，2s、2p1/2 壳层次之，而2p3/2 壳层的电子则几乎
不能到达近核区。因此1s 轨道波函数受到的原子核有限体积效应影响最大，2s、2p1/2 壳层
依次减小。对2p3/2 壳层核的有限体积效应影响几乎为零，这表明对2p3/2 壳层而言，将原子
核作为点电荷处理在一般情况下是相当可靠的，特别对n >3 的壳层，核有限体积效应的影
响已经相当小，这时将原子核作为点电荷处理完全能达到很高的精度要求。
2.2 核有限体积效应对平均轨道半径和轨道能的影响
通过上面的分析，我们已经看到核有限体积效应对电子波函数的影响，这种影响也会反
映在电子的平均轨道半径和轨道能上。这里，我们进一步计算了不同核模型下高离化态类氢
离子（Z=80~112）的n=1~3 壳层的平均轨道半径和轨道能。
图2 展示了Fermi 核模型和点电荷核模型下计算的平均轨道半径差△<r>随原子序数Z
变化的关系。从图中可以看出，各壳层的△<r>均随着Z 单调递增。这是由于原子核电荷的
图1 Fermi 核模型（─）和点电荷模型（…）下计算的类氢Uub（Z=112）离子的1s , 2s 和 2p1/2、2p3/2
壳层的波函数和势能函数图（V=V/2*105）。
Fig.1 Wavefunctions and potential of 1s , 2s 和 2p1/2、2p3/2 shell of Uub（Z=112） ion calculated with Fermi
model （─）and point model（…）.
e-9 e-7 e-5 e-3 e-1
-10
0
-10
0
V(r)
Ψ(r)
r/a.u
1s a
e-9 e-7 e-5 e-3 e-1
-10
0
-10
0
Ψ(r)
V(r)
r/a.u
2s
b
e-9 e-7 e-5 e-3 e-1
-10
0
-10
0
V(r)
Ψ(r)
r/a.u
2p1/2
2p3/2
c
- 4 -
空间分布密度随着原子序数的增加而增加，导致核势能在近核处差异性的增大，以及内壳层
电子随着原子序数的增加离核愈来愈近造成的。
由图２还可看出对所有壳层而言，３s 和 ２s 壳层在两种核模型下的平均轨道半径的差
异最明显，而2p3/2 和3p3/2 壳层的差异最小。这可以定性地从半经典的角度给予解释。由于
不同壳层的电子轨道的形状不同，n 愈大，l 愈小，电子轨道愈扁，近核点离原子核愈近，
而近核区的库仑势在两种核模型下是不同的，且离核愈近差别愈大。但远核区的库仑势在两
种模型下基本一致，所以原子核的有限体积效应对大n 小l 的壳层的<r>影响较大，即对大n
的s 壳层的<r>影响较大，而对2p1/2 壳层的<r>影响次之。由3.1 的分析可知，2p3/2 壳层的电
子不能到达近核区，故原子核的有限体积效应对2p3/2 壳层的<r>几乎没有影响，因此它的平
均轨道半径几乎没有变化。
图3 给出了Fermi 核模型和点电荷核模型下计算的高离化态类氢离子 Z=80~112 的主量
子数n=1~3 壳层的能级差△E 随核电荷数的变化。图2 与图3 的曲线变化趋势基本一致，与
平均轨道半径明显不同的是，原子核有限体积效应对1s，2s 壳层的能量影响最明显。这是
因为
E z 2 r
r
Δ ≈ Δ ，因此，在两种核式模型下电子的轨道能级差△E 除与△<r>成正比外，
还与<r>2 成反比，而类氢离子的<r>与n2 成正比，所以核的有限体积效应对1s 壳层轨道能E
的影响最大，对2s、3s、2p1/2 壳层轨道能E 的影响次之。而对于2p3/2 壳层的轨道能的影响
几乎可以不予考虑。
2.3 Fermi 模型中参数a 和c 对原子结构的影响
在两参数Fermi 核模型中，决定核电荷分布的是参数a 与c，这两个参数对于研究原子
核的结构和性质具有重要的意义。在不同参数的核电荷分布下，原子核产生的库仑势是有差
别的，这可以直接从原子的轨道能的变化反映出来。因此它能够提供研究原子核结构的另一
条途径。这里我们以类氢Uub(Z=112)离子为例，进一步给出了原子的轨道能和这两个参数
的定量关系。
由（4）式可知，参数a 是一个与核边界弥散程度相关的量。我们首先比较了不同a 值
图2. Fermi 与点电荷核模型下不同壳层的平均轨
道半径差△<r>
Fig.2 Difference of average orbit radius of different
shells calculated with Fermi model （─）and point
model（…）
图3. Fermi 与点电荷核模型下不同壳层轨道能级差△E
Fig.3 Difference of average orbit energy of different shells
calculated with Fermi model （─）and point model（…）
- 5 -
对电子波函数及能级差的影响。图4 给出了1s 电子波函数和原子核势能分布随不同的参数
a 的变化。可以看出，电子波函数及能级随不同的参数a 变化很小。
Fermi 核模型中的另一个参数是c，它可以近似反映原子核的大小，一般由(5)和（6）
式计算得到。我们比较了不同c 值对1s 电子波函数及能级差的影响,如图5 所示。从该图可
以看出电子波函数在近核区略有差异，虽然这种差异也很小，但是参数c 的影响要比参数a
的影响大。
由此我们可以看出，核有限体积效应主要是由于原子核的大小引起的，原子核边界弥散
程度的作用很小。
在两参数Fermi 核模型中，若参数a→0，则Fermi 核模型退化为钢球模型。对于钢球
模型，电子感受到的库仑势为[15]
( )
2 2
2
0
2
0
1 3 , 0
4 2 2
1 ,
4
nucl
nucl nucl
nucl
Ze r r R
R R
V r
Ze r R
r
πε
πε
⎧ ⎛ ⎞
⎪ ⎜− + ⎟ ≤ ≤
⎪ ⎝ ⎠ =⎨⎪
− > ⎪⎩
由Hellmann-Feynman 定理n ,
n n
n
E H H
λ λ λ
∂∂ =⎛⎜⎝Ψ ⎛⎜⎝∂∂ ⎞⎟⎠Ψ ⎞⎟⎠≡ ∂∂
[16] （n 为一组量子数），
把原子核半径nucl R 看作参数λ，有
2
2 4
3 , 0
2 6
0,
nucl
nucl nucl
nucl
nucl
H Z R Rr r R
R
r R
⎧ ⎛ ⎞
∂∂ = ⎩⎪⎨⎪ ⎝⎜ − ⎠⎟ >≤ ≤
进一步可以得到，
图4 Fermi 模型下不同参数a 计算的类氢离子
Uub（Z=112）的1s 壳层的波函数和势能分
布图。（V=V/2*105）。
Fig.4 Wavefunctions and potential versus parameter
a calculated with Fermi model （─）and point
model（…）
e-10 e-9 e-8 e-7 e-6 e-5 e-4 e-3 e-2
-4
0
4
8
-4
0
4
8
V(r)
?(r)
r/a.u
a=0.3fm电子波函数
a=0.9fm电子波函数
a=0.3fm核势能
a=0.9fm核势能
图5 Fermi 模型下不同参数c 计算的类氢离子
（Z=112）的1s 壳层的波函数和势能分布图。
（V=V/2*105）。
Fig.5 Wavefunctions and potential versus parameter
c calculated with Fermi model （─）and point
model（…）
e-10 e-9 e-8 e-7 e-6 e-5 e-4 e-3 e-2
-4
0
4
8
-4
0
4
8
V(r)
?(r)
r/a.u
c=4.6fm电子波函数
c=8.0fm电子波函数
c=4.6fm核势能
c=8.0fm核势能
- 6 -
2
* *
2 4
0
3 0
2 6
nucl
nucl
R
n
nucl R
E Z r d d
R R R
τ τ
∂ ⎛ ⎞ ∞
∂ = Ψ ⎜⎝ − ⎟⎠Ψ + Ψ Ψ ∫ ∫
由于原子核半径非常小，电子波函数Ψ 在核内可以近似认为是一常数，由此可以得到：
28 (0)2
15
n nucl
nucl
E ZR
R
∂ π
= Ψ
∂
即
( )
2
14 0 2
15
nucl
n
E ZR C
π
= Ψ + （8）
如果原子核半径趋于0，上式应与点电荷的轨道能公式一致，因此常数C 等于原子核
用点电荷模型时相应的轨道能。
由（8）式看以看出，使用钢球模型计算的原子轨道能与原子核半径的平方有关。而钢
球模型是对Fermi 模型的一种近似，并且由上面的分析我们知道，对于Fermi 核模型，核有
限体积效应主要是由于原子核的大小引起的，而原子核边界弥散程度的作用很小，据此我们
可以推断，对于Fermi 模型原子轨道能与原子核半径即参数c 的平方有关。而对于另一参数
a,计算发现点电荷模型和Fermi 模型下的能级差也与其平方有关，但是相应的系数非常小。
对于不同元素，点电荷模型和Fermi 模型下的能级差与两参数均满足这种关系，只有拟合系
数存在差异。我们假设拟合系数是原子序数Z 的函数。基于以上分析，对于类氢元素
（Z=56-112）我们计算得到了点电荷和Fermi 模型下的能级差拟合公式：
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 3 ( ) n ΔE =b a−b c =kc +kca+kca （9）
上式中，b1、b2 及k1、k2、k3 均为常数。对于不同元素，系数k1、k2、k3 均不同，它们随
Z 的变化关系如图6 所示。由图6 可以看出，系数k1、k2、k3 随Z 的变化是单调的。
比较（8）、（9）可以发现，当a→0，即Fermi 模型退化为钢球模型时，两式是等价
的，（9）式中的c 就对应于(8)式中的nucl R ，(9)式中的系数b1 与b2 就对应于（8）式中的常
数。
图6 Fermi 和点电荷模型下能级差拟合公式中系数k1、k2、k3 随Z 的变化关系
Fig.6 Coefficient of fit formula of energy difference calculate with Fermi model and point model
versus Z
- 7 -
对类氢元素Uub（Z=112, A=285）的1s 壳层，相应拟合公式为：
2 2 2 2
ΔE1s =-11.55 c +24.41 a c +0.1681a c
拟合公式（9）在研究原子核的性质时是很有用的，因为对于类氢离子，采用点电荷模
型可以得到波函数和能级的解析解，实验与理论值比较，我们就可以推测原子核的半径及边
界厚度等相关的物理量，从而进一步了解原子核的性质。
2.4 相对论效应与原子核有限体积效应之间的相互影响
随着原子序数的增加，原子中相对论效应越来越明显。相对论效应会使电子径向波函数
明显的收缩[17]，因此相对于非相对论计算，相对论情形下核的有限体积效应更加显著。
为了研究相对论与核有限体积效应之间的相互影响，我们计算并比较了Fermi 核模型
和点电荷核模型在相对论与非相对论情形下核有限体积效应对1s 平均轨道半径差△<r>和能
级差△E 的影响。图7 和图8 分别给出了类氢离子Uub（Z=20~112）相对论和非相对论1s
轨道在两种核模型下的平均半径差△<r>和能级差△E 随原子序数Z 变化关系。从两图中可以
看出，△<r>和△E 随原子序数Z 变化规律基本一致。对低Z 元素（Z=20-47）相对论和非相
对论的计算结果基本相同；对中Z 元素（Z=47-92）相对论下核的有限体积效应逐渐增大，
相对论情形下计算的1s 平均能级差与非相对论情形下的计算结果差异从0.69 eV 增大到
178.31 eV；而对重及超重元素（Z=92-112），相对论下核的有限体积效应急剧增大，相对论
情形下计算的1s 平均能级差与非相对论的计算结果差异从178.31 eV 增大到1678.35 eV。由
此可以看出相对论与原子核有限体积效应产生了很强的耦合，所以对于重元素特别是超重元
素，相对论和核有限体积效应必须同时考虑。
3. 结 论
本文首先在Fermi 核模型和点电荷核模型下计算了高离化态类氢离子(Z=80 ～
112)n=1~3 壳层的波函数和轨道能，分析了核有限体积效应对它们的影响。结果表明，核有
限体积效应对高离化态类氢离子内壳层电子近核区波函数和轨道能的影响是明显的，且这种
图7. 相对论与非相对论情况下计算的 Fermi 与点
电荷核模型下1s 壳层的平均半径差△<r>。
Fig.7 Plot of relativistic and non relativistic average
orbit radius difference between Fermi model
and point model of 1s orbit.
图8. 相对论与非相对论情况下计算的Fermi 与点
电荷核模型下1s 壳层的能级差△E。
Fig.8 Plot of relativistic and non relativistic average
energy difference between Fermi model and point
model of 1s orbit.
- 8 -
影响随着原子序数的增大而增强。但这些影响对不同n, l 电子有着较大的差异性，对1s 电
子的影响最大，对2s，2p1/2 电子的影响次之，对2p3/2 电子的影响很小。因此，对于高离化
态离子中角动量为1/2 的电子，核有限体积效应不能忽略。我们进一步拟合了核有限体积效
应与Fermi 核模型中参数a 和c 的关系。这个公式对于进一步通过原子结构研究原子核的性
质有十分重要的意义。对于超重元素，相对论效应非常重要，因此文中进一步分析了相对论
效应与核有限体积效应之间的相互影响。计算发现，随着原子序数的增加，相对论效应与核
有限体积效应之间的相互影响逐渐增强。尤其是对于重元素及超重元素的内壳层电子，应该
同时考虑这两种效应才能得到可靠的结果。
- 9 -
参考文献
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The influences of the finite nuclear size effects on the energy
levels and wavefunctions of hydrogen-like ions
Zheng Shudong1, 2, Li Bowen1, Li Jiguang1, Dong Chenzhong1, Yuan Wenyuan1
1 College of Physics and Electronic Engineering, Northwest Normal University, Lanzhou,
PRC (730070)
2 The department of Basic science, Qinghai University, Xining, PRC (810016)
Abstract
Based on the relativistic theory, the wavefunctions and low-lying levels of highly charge states
hydrogen-like ions for the shells n=1~3 were calculated using different nuclear model——point-like
nuclear and Fermi nuclear model with two parameter, respectively. The influences of the finite nuclear
size effects on wavefunctions and level energies were analysed. Furthermore, it was given that a fitting
formula related to nuclear parameter a and c in Fermi nuclear model for finite nuclear effects on the
atomic level energy. The influence between the relativistic effect and the finite nuclear size effects were
discussed. It is found that there is a strong coupling between relativistic effect and finite nuclear size
effects for high-Z elements.
Keywords: finite nuclear size effects; highly charged ions; relativistic effect
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