李洪兴教授在文献[1]中指出，模糊控制本质上是一种插值控制，为简化模糊控制器的设计，
提高控制系统的各项性能提供了崭新思路。I. J. Schoenberg 于1946 年首次提出样条函数的
概念，它具有较好的收敛性和稳定性，并且光滑性非常高。本文拟结合三次样条函数来分别
建立一元三次样条插值控制算法和二元双三次样条插值控制算法来分别对一阶系统和二阶
系统加以控制。最后通过仿真实验，来说明基于上述两种算法的插值控制器具有设计简单，
不需要选择具体的隶属函数，不需要过多的专家经验就可以得到很好的控制效果的优点。而
模糊控制需要建立在完备的规则库基础上，当输入事实落在规则之间时需要选择具体的隶属
函数来确定隶属于精确输出的输出，但是对于究竟选择何种隶属函数本身也是模糊的、不确
定的，由此导致了常规模糊控制响应时间、调整时间都较长，并且难以克服稳态振颤、稳态
误差较大等缺点。
模糊控制器的输入与输出之间存在近Pareto 映射关系[2]，即对应一种控制输入就有唯一的
控制输出，使得控制效果最佳，并且对于多输入单输出模糊控制系统，随着某个输入变量取
值的增大而其他的输入变量取值不变时，为了跟踪参考输入，模糊控制器的输出能够及时做
出相应的调整，表现为不减趋势。这种性质就是模糊控制器所具有的单调性。在三次样条插
值控制作用下，满足上述两个条件的映射关系非常容易建立。以下开始基于三次样条插值控
制算法的建立。
1. 一元三次样条插值控制算法
设给定区间[a,b]上的分划Δ ：
Δ ： 0 1 n1 n a x x x x b − = < << < = ，
下面设计采用三弯矩方程方法（第一类边界条件）的插值控制算法。考虑小区间[ ] 1, i i x x − ，
设S(x) 是三次样条多项式，记'' ( )
i i S x =M (i= 0,1,2,,n) ，则
( ) ( )3 ( )3 2 2
1 1 1
16 6 1 6 6
i i i i i i i i
i i i i
i i i i
S x M x x M x x x xy Mh x x y Mh
h h h h
− − −
− −
− − − ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞
= + + ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⑵
式中i 1 M − 和i M 是未知参数， [ ] 1, i i x x x − ∈ ，i= 1,2,,n。
由第一类边界条件'( ) ' ' ( ) '
0 0, n n S x = y S x = y ，导出关于i M 的三对角方程组
0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
2 1 0 0
2 0
0 2
0 1 2
n n n n
n n
M d
M d
M d
M d
μ λ
μ λ − − − −
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
⑶
式中， 1, 1,2, , i i i h x x i n − = − = ，在以下实验1 中，选取' '
0 0, 0 n y= y= ，
1
1
i
i
i i
h
h h
λ +
+
=
+
， 1 i i μ = −λ ， 1 1
1 1
6 i i i i
i
i i i i
d y y y y
h h h h
+ −
+ +
⎛ − − ⎞
= + ⎜⎝ − ⎟⎠
，i=1, 2,,n−1。
1 0 '
0 0
1 1
d 6 y y y
h h
⎛ − ⎞
= ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
， ' 1 6 n n
n n
n n
d y y y
h h
− ⎛ − ⎞
= ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
。
对于单输入单输出系统，由专家经验可以得到全部或部分精确的输入输出控制数据对，
对于典型的输入输出数据对(x,S(x)) ，可以由上面的三次样条插值表达式得到对应的插值
控制函数S(x) 。进而对于任意的控制输入都可以由插值控制函数得到对应的控制输出，使
得控制曲线光滑，并且不会出现超调，稳态误差也不会很大。
2. 二元双三次样条插值控制算法
对于双输入单输出系统，输入量落在一个矩形输入平面内，利用二元样条函数作为插值逼近
函数， 可以保证整体连续， 并且具有次数低、光滑性好的优点。设矩形区域
R={(x,y):a≤x ≤b,c≤ y ≤d}，为简单起见，分别对区间[a,b] 和[c,d] 进行等距划分。
设[a,b]上的等距分划为x π ：
0 1 :x n π a=x <x <<x =b，
其中0 , , 0,1, , i x x
x x ih h b a i n
n
−
= + = = 。则在[a,b] 上的三次等距基本样条函数
3 2
3
3 2
0, 2
1 2, 1
2 3
1 2 4,1 2
6 3
i
x
i i i i
x x x x
i i i i
x x x x
x x
h
x x x x x x x x
h h h h
x x x x x x x x
h h h h
⎧ −
≥ ⎪⎪⎪
Ω⎛⎜ − ⎞⎟=⎨⎪ − −⎛⎜ − ⎞⎟ + − ≤
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪
⎪⎩⎪− − +⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠ − − + < − <
⑷
同样对[c,d]进行等距划分，得到分划y π ：
0 1 :y m π c=y <y <<y =d，
其中0 , , 0,1, , j y y
y y jh h d c j m
m
−
= + = = 。则在[c,d] 上的三次等距基本样条函数具有
和⑷式相同的形式，只是需要把x 替换为y ，把i x 替换为j y ， x h 替换为y h 即可。此式略写。
在输入平面内，分划π x 和分划π y 交织在一起，形成(n+1)(m+1) 个交点，假设对于任意
一个交点( , ) i j x y ，都有对应的控制输出量ij z ，使得控制结果趋近于参考输入量，则可以形
成(n+1)(m+1)个网点( , , ) i j ij x y z （i= 0,1,,n；j= 0,1,,m）。
故取二元样条插值控制函数
( ) 3 3
0 0
,
n m
i j
ij
i j x y
U x y C x x y y
= = h h
⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
= Ω⎜⎝ ⎟⎠Ω⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠
ΣΣ ⑸
满足插值条件： ( , ) i j ij U x y = z ，得到以ij C ﹙i= 0,1,2,,n；j= 0,1,2,,m﹚为变量的
方程组。为防止在求解过程中出现病态解，下面采用中间变量替换法分两步进行计算求解。
第一步，由⑸式，有
( ) 3 3
0 0
,
m n
k i j
k ij
j i x y
U x y C x x y y
= = h h
⎡ ⎛ − ⎞⎤ ⎛ − ⎞
= ⎢⎣ Ω⎜⎝ ⎟⎠⎥⎦Ω⎜⎝⎜ ⎟⎠⎟
Σ Σ ⑹
令3
0
n
k i
kj ij
i x
B C x x
= h
⎛ − ⎞
= Ω⎜ ⎟
⎝ ⎠
Σ ，得到( ) 3
0
,
m
j
k kj
j y
y y
U x y B
= h
⎛ − ⎞
= Ω⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ⎠
Σ ⑺
（k= 0,1,2,,n；j= 0,1,2,,m）。
首先取k x = 0 x ，即令k 为0，得到以0 j B 为参变量的m +1个方程组成的方程组，求解得到
0 j B ，然后再令k 依次取其他的数，得到对应的kj B (k= 1, 2,,n； j = 0,1,2,,m) 。
第二步，由上面的代换3
0
n
k i
kj ij
i x
B C x x
= h
⎛ − ⎞
= Ω⎜ ⎟
⎝ ⎠
Σ 来依次求解ij C 。为了求解的简便需要
先固定j 的取值。先令j = 0 ，得到方程组
0
0 3 0,0
0
1
0 3 1,0
0
0 3 ,0
0
n
i
i
i x
n
i
i
i x
n
n i
i n
i x
C x x B
h
C x x B
h
C x x B
h
=
=
=
⎧ ⎛ − ⎞
⎪ Ω⎜ ⎟=
⎝ ⎠ ⎪⎪
⎪⎪ Ω⎛⎜ − ⎞⎟=
⎨ ⎝ ⎠
⎪⎪⎪
⎛ − ⎞
⎪ Ω⎜ ⎟=
⎩⎪ ⎝ ⎠
Σ
Σ
Σ
⑻
求解上面的方程组就得到n +1个参变量( ) 0 0,1,2, , i C i= n ，然后再令j 依次取其他的数，
得到对应的( 0,1, 2, , ; 1, 2, , ) ij C i= n j= m 。显然上述方法得到的ij C ，可以保证二元双
三次样条插值控制函数经过所有的网点。
3. 仿真实验
为了验证上面算法的可行性，现把它们分别应用在一阶系统和二阶系统的控制上面。
第一步，对于一阶系统和二阶系统的控制，根据专家经验首先给出控制论域的分划，由控制
规则得到峰点及与之对应的控制输出量，但不需要寻找论域内具体隶属函数的选择；
第二步，由于根据专家经验和实际的实验数据得到的控制输入输出数据对是比较精确
的，那么把单输入单输出系统的输入输出数据对代入⑶式和⑵式，就可以得到一阶系统的一
元三次样条插值控制函数，只要给一个输入值，控制函数就可以给出一个最佳的控制输出，
使得控制结果向着期望的方向进行；把双输入单输出系统的输入输出数据对代入⑸式，得到
二阶系统的二元双三次样条插值控制函数。在具体的控制过程中，控制函数对控制需求做到
所需即所求，相当于对原来的控制规则进行了无限细化，在接近期望的参考输入后控制动作
变得连续，平稳，使得控制结果不会出现超调和稳态振颤。
实验1 选取被控对象：
( )
( )
1 ( ) ( )
1
x t
x t
xt e ut
e
−
−
−
= +
+
⑼
y(t) = x(t) ⑽
这是一阶非线性不稳定系统，控制的任务是使系统的输出y(t) 以尽可能小的误差来跟踪参
考输入r(t) 。文献[3]使用常规模糊控制方法，控制效果稍差一些，文献[4]使用变论域稳定
自适应模糊控制方法，控制效果较好。现采用文献[4]给出的6 条模糊控制规则：
If e is Nb then u is NB , If e is Nm then u is NM ,
If e is Ns then u is NS , If e is Ps then u is PS ,
If e is Pm then u is PM , If e is Pb then u is PB .
这里推理前件语言值Nb,Nm,,Pb 均为输入论域上的模糊集， 推理后件语言值
NB,NM,,PB 均为输出论域上的模糊集，不考虑模糊集的具体取法，而只按照文献[4]
给出的输入输出论域划分，得到峰点集，设控制输入峰点集E = {−2,−0.8,−0.3,0.3,0.8,2} ，
控制输出峰点集U = {−7,−2.8,−0.7,0.7, 2.8,7} ， 得到输入输出数据对(−2,−7) ，
(−0.8,−2.8)，(−0.3,−0.7)，(0.3,0.7)， (0.8, 2.8) ， (2,7) ，并将它们代入⑶式和⑵式，
就可以求解得到该一阶系统的一元三次样条插值控制函数u(e) ，其对应的插值控制曲线光
滑、连续（见图1）。以下在实验1 的两种情形中量化因子均取
1
18
ke = ， ku = 40 。
情形1 取参考输入r(t) = 0，初始状态x (0) =1，仿真时间T=0.1 s ，采样步长
h= 0.005s，在一元三次样条插值控制算法作用下，得到非常好的控制仿真结果见图2，响
应时间极短，上升时间与调整时间总和仅约为0.02 s ，无超调，无稳态振颤现象，稳态误差
极小。
图1 插值控制函数u(e) 的插值控制曲线 图2 T=0.1s 时r(t)=0 的仿真曲线
情形2 取参考输入r(t) = sin(t) ，初始状态x (0) =1，仿真时间T=10 s ，采样步长
h= 0.005s，在一元三次样条插值控制算法作用下，同样得到很好的控制仿真结果见图3，
响应时间极短，无超调，稳态误差极小，二者基本重合在一起。
图3 T=10s 时r(t)=sin(t)的仿真曲线 图4 插值控制函数u(e,ec) 的插值控制曲面
实验2 选取二阶系统的传递函数为
( ) 2
10
10 16 1
G s
s s
=
+ +
⑾
设误差E 、误差变化率EC 论域内峰点集选取为
{E}={EC}={−7.5,−5,−2.5,0,2.5,5,7.5}
则在输出论域内对应上面的典型输入峰点集有典型控制输出
u= − ((E+EC) / 2)
式中E 、EC 均为经过量化的模糊变量，u 未经取整运算。在以下实验中，取ke =14，kd =0.8，
ku =170。E = ke⋅e ，EC=kd⋅ec，U=ku⋅u。上面的典型输入与典型输出对应得到49
个数据对网点(−7.5,−7.5,7.5)，(−7.5,−5,6.25)，，(7.5,7.5, −7.5) 依次代入二元双三
次样条插值控制算法的相应公式中，就可以得到二元双三次样条插值控制函数u(e,ec)，
u(e,ec)的控制函数曲面连续、光滑（见图4，）从而实现实时、高精度的控制。
情形1 若采样时间T = 5 s ，采样步长h = 0.01 s ，初始状态x1(0)=0,x2(0)=0，参考输
入为r(t) = 1，则在二元双三次样条插值控制算法作用下得到的仿真曲线非常理想（见图5），
上升时间与调整时间的总时长仅约为0.3 s ，系统响应非常好，而后二者完全重合。
情形2 取参考输入r(t)=2.5cos(t)+1.5，初始状态( ) ( ) 1 2 x0 =0,x0 =0，仿真时间
T=5 s ，采样步长h= 0.01s，得到控制仿真结果见图6，响应时间极短，调整时间不足0.5 s ，
其控制效果要优于其他控制方法，无超调，稳态误差极小，二者基本重合在一起。而常规模
糊控制，则响应时间长，无法消除稳态振颤，并且稳态误差较大（见图7）。
图5 T=5s 时r(t)=1 的仿真曲线 图6 T=5s 时r(t)=2.5cos(t)+1.5 的仿真曲线
图7 T=5s 时r(t)=2.5cos(t)+1.5 的常规模糊控制仿真曲线
4. 小结
上述两种控制算法在相同的量化因子作用下分别控制不同对象均取得了很好的控制效
果，说明上述参数和方法均具有相当的普适性。基于三次样条函数的插值控制，建立了从控
制输入到控制输出的近Pareto 映射关系，只要由精确的控制输入输出数据关系得到了插值控
制函数，就可以对控制输入实时给出比较好的控制输出，它不需要建立输入、输出变量的具
体隶属函数，而只需要选取输入输出变量论域内的峰点集，节省了控制开销，可以用于稀疏
规则库条件下的被控对象的控制。通过大量仿真实验，不难发现，它具有调整时间短，基本
无超调，无稳态振颤现象，稳态误差极小等优点，并且具有鲁棒性，具有很好的应用推广价
值。
参考文献
[1] 李洪兴. Fuzzy 控制的本质与一类高精度Fuzzy 控制器的设计[J].控制理论与应用，1997，14（6）：868-876.
[2] Hailiang Zhao, Tsu-TianLee. Research on multiobjective optimization control for nonlinear unknown
systems[J]. The IEEE International Conference on Fuzzy Systems(2003):402-407.
[3] 王立新 著，王迎军 译.模糊系统与模糊控制教程[M]，北京：清华大学出版社，2003.
[4] 李洪兴，苗志宏，王加银.非线性系统的变论域稳定自适应模糊控制[J]，中国科学（E 辑），2002，32（2）：
211-223.
[5] 李士勇 编著.模糊控制、神经控制和智能控制论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1998.
[6] 杨凤翔，陆君良.数值分析[M].天津：天津大学出版社，1985.
[7] 章卫国，杨向忠 著.模糊控制理论与应用[M].西安：西北工业大学出版社，2000.
[8] 张菊丽，王新民，张举中.基于牛顿插值算法的模糊控制器[J].模糊系统与数学，2007，21摘 要：本文利用三次样条插值函数，直接由控制输入输出数据对建立了控制输入与控制输
出之间的映射关系，得到了一元三次样条插值控制算法和二元双三次样条插值控制算法，二
者可以分别对单输入单输出系统和双输入单输出系统进行控制。最后通过仿真实验，说明了
上述方法的可行性。仿真结果表明，基于三次样条函数的插值控制，具有响应快，无超调，
稳态误差极小等优点，并且设计简单，不需要过多专家经验就可以完成很好的控制，适用于
稀疏规则库条件下的控制。
|
减小字体
增大字体